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趣味如《小王子》 浩瀚如《相對論》
科幻大師艾西莫夫推崇的百年經典
這本書是一位來自「平面國」，名為「正方形」的男子的故事。
試著閉上你的眼睛，想像一個僅有長、寬，沒有高的國度，那裡的男性國民，根據社會階級由低至高，分別為三角形、四方形??直至圓形，女性則為直線（其實為寬度極窄的長方形）。雨水由北向南降下，樹木由南往北生長，假如某個人面前出現障礙物，哪怕是一條直線，他也只能向東西南北繞行，而不能跳躍而過。
「正方形」在偶然的機會下，踏上一段奇妙旅程，他首先經歷了點國、線國，並感嘆他們的無知。接著一位「球體」彷彿天使降臨，將他帶至立體國。在立體國，他驚訝於除了東西南北，還有高的存在、還有向上的可能。於是，在回到平面國後，他迫不及待地向國人宣告「向上，而非向北」的「三維福音」：
如果是向北，那麼南邊的點不過是移動到原來北邊的點的位置；
惟有向上，沒有一個點重複經過先前的位置。每一點將畫出自己的直線。
面對如此顛覆既有世界的觀點，平面國人民會選擇相信，還是視為異端？
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《平面國》是認識維度概念最好的一本書。—以撒?艾西莫夫（Isaac Asimov），科幻小說大師
如果可以造訪一個幻想中的國度，我最想去的地方就是平面國了。—薛爾頓，生活大爆炸（The Big Bang Theory）主角
《平面國》是最有想像力、最令人愉快、感人的數學讀物之一。—《華盛頓郵報》（Washington Post）
人們對《平面國》的興趣持續了一個多世紀，因為它的魅力是多層面的。—《維多利亞研究》（Victorian Studies）
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序言
如果我那位可憐的平面國朋友，此刻仍舊像當初他撰寫回憶錄時那樣精力充沛，我就不用替他寫下這段序言了。
首先，他誠摯地感謝所有立體國諸君的閱讀與批評。為了回應這些評論，本書不得不以出乎預期的速度再版。其次，他對書中一些印刷以及書寫上的錯誤感到抱歉（儘管他不需要為此負起全責）。
最後，他想針對兩件議題多作解釋。首先，他的心智能力已不復當年。長年的囚禁，大量的質疑與冷嘲熱諷，不僅是沉重的負擔，更讓他的思緒陷入混亂，忘卻了那些曾在立體國短暫停留時學到的專有名詞。因此，他要求我代表他解釋那兩件讀者諸君特別質疑的議題，分別屬於知識性與道德性的議題。
第一項質疑是：平面國國民可以看見一條線。可以「看見」某物即表示該物除了長度，還具有厚度（如果沒有厚度就無法看見）。因此推論平面國國民應該能感知到不僅僅只有長與寬，還有厚度（儘管毫無疑問地，厚度非常薄），或稱之為高度的存在。這是很合乎常理的，對立體國的諸君來說更是理所當然。也因此，在第一次聽到這種論點時，我不知道該怎麼回答。
當我跟我的老友正方形提及這類的反駁時時，他回答道：
「我承認，我承認批評者說的沒錯，這些都是事實，但我否定他的結論。的確，平面國裡存在著第三維度--我們沒意識到的『高度』。這就好比立體國也存在著你們沒意識到的第四維度，我不知道它該叫做什麼，暫且稱為『超高度』好了。我們對『高度』的理解，跟你們對『超高度』的理解差不多。就算是我這樣曾到過立體國的人，花了二十四小時的時間徹底搞懂了『高度』的意義，現在我也無法理解，更無法藉著肉眼、或任何理性推演出它的意義。我只是憑著一股信念去相信它的存在。
原因很簡單。維度代表方向、代表測量、代表大小。現在，因為我們所有線段的厚度都是無窮薄（或無窮矮，隨便你怎麼說），沒有任何工具可以協助我們理解這個維度的存在。立體國有位過於輕率的評論家甚至建議我們用『精巧到能量測十的六平方公尺為單位』的工具，沒有這種東西。我們完全不知道該怎麼測量，也不知道它是在哪個方向。當看見一條直線，我們看見一條既有長度又發出光亮的物體。亮度跟長度是一樣重要的存在。
平面國：向上，而非向北！
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